1st Δεκέμβριος 2020

ScienceLab.Gr

Science Communication

Δευτεροβάθμιες εξισώσεις έλυναν και οι αρχαίοι

Από τα αρχαία χρόνια οι μαθηματικοί χρησιμοποίησαν διάφορες τεχνικές για να λύσουν μια εξίσωση 2ου βαθμού.

Οι αρχαίοι Έλληνες χρησιμοποίησαν γεωμετρικές μεθόδους, ίσως λόγω των δυσκολιών που είχαν με τους άρρητους αριθμούς, αλλά και λόγω πρακτικών δυσκολιών που προέκυπταν από τα ελληνικά ψηφία.

Οι Ινδοί και οι Άραβες χρησιμοποίησαν μια μέθοδο όμοια με τη σημερινή διαδικασία “συμπλήρωσης τετραγώνου”, περιγράφοντας όμως λεκτικά τον τρόπο εύρεσης των λύσεων. Αυτοί θεωρούσαν ως διαφορετικού τύπου κάθε μία από τις εξισώσεις:

x2 + px = q

x2px = q

x2px = –q

Σήμερα όμως γράφουμε τις εξισώσεις αυτές με τη γενική μορφή:

αx2 + βx + γ = 0

Πως προέκυψε ο σύγχρονος τρόπος συμβολισμού των εξισώσεων;

Ο σύγχρονος συμβολισμός άρχισε να εμφανίζεται περί το 1500 μ.Χ, και οι δυνατότητες χρησιμοποίησης αρνητικών ριζών και ακόμα μιγαδικών ριζών προτάθηκαν από τους Cardano και Girard. Η γεωμετρική παράσταση των αρνητικών ριζών από τον Descartes και των μιγαδικών αριθμών από τούς Wessel, Argand και Gauss έκανε τους αριθμούς αυτούς περισσότερο αποδεκτούς ως ρίζες μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης.

Όμως η ποικιλία των επιλύσεων που αναπτύχθηκε τα αρχαία χρόνια μας ενέπνευσε να αναπτύξουμε μερικούς τρόπους εξαγωγής του τύπου:

pic270

που δίνει τις ρίζες της γενικής εξίσωσης 2ου βαθμού:

αx2 + βx + γ = 0, α ≠ 0 .

3 μεθόδοι επίλυσης μίας εξίσωσης 2ου βαθμού

Η μέθοδος των Ινδών

Η επίλυση αυτή που επινοήθηκε στην Ινδία, αποδίδεται στον Sridhara (1025 μ.Χ. περίπου).

Έχουμε διαδοχικά:

αx2 + βx + γ = 0

αx2 + βx = –γ

Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της εξίσωσης με 4α και ύστερα προσθέτουμε το β2 και στα δύο μέλη, για να προκύψει ένα “τέλειο” τετράγωνο στο αριστερό μέλος. Δηλαδή:

pic271

Έτσι προκύπτει ότι:

pic272

Σχόλιο: Η απλότητα της μεθόδου των Ινδών χαρακτηρίζεται από το γεγονός ότι το κλάσμα δεν εμφανίζεται παρά μόνο στο τελευταίο βήμα.

Μέθοδος του Vieta

Η εξίσωση 2ου βαθμού αx2 + βx + γ = 0, α ≠ 0 μπορεί να λυθεί ευκολότερα, αν δεν περιέχει τον πρωτοβάθμιο όρο βx, πράγμα που μπορεί εύκολα να επιτευχθεί με την αντικατάσταση:

pic273

Τότε η εξίσωση γίνεται:

pic274

η οποία όταν απλοποιηθεί γίνεται:

pic274

Οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι:

pic275

εφόσον β2 – 4αγ ≥ 0.

Για να βρούμε τις ρίζες της αρχικής εξίσωσης αντικαθιστούμε την παραπάνω τιμή του y στην (1) και έχουμε:

pic276

Σχόλιο: Η μέθοδος αυτή του Vieta είναι ενδιαφέρουσα, γιατί είναι ο προάγγελος της τεχνικής για την επίλυση της γενικής τριτοβάθμιας καθώς και της διτετράγωνης εξίσωσης. Για παράδειγμα, το πρώτο βήμα στην επίλυση της εξίσωσης αx3 + βx2 + γx + δ = 0, είναι η αντικατάσταση x = y – β/3α που απαλλάσσει την εξίσωση από το δευτεροβάθμιο όρο.

Μέθοδος του Harriot

Ο μαθηματικός Thomas Harriot (1560-1621) εφάρμοσε τη μέθοδο της παραγοντοποίησης, για να βρει τις λύσεις μιας εξίσωσης 2ου βαθμού, στο μεγάλο έργο του για την άλγεβρα “Artis Analytical Praxis”. Η τεχνική του είναι η εξής περίπου:

Υποθέτουμε ότι x1 και x2 είναι οι ρίζες της δευτεροβάθμιας εξίσωσης:

αx2 + βx + γ = 0, α ≠ 0       (1)

Σχηματίζουμε τώρα μία εξίσωση με ρίζες x1 και x2. Αυτή είναι η (x – x1 )(x – x2 ) = 0 ή ,ισοδύναμα, η

x2 – (x1 + x2) x + x2 x2 = 0      (2)

Με διαίρεση των μελών της (1) με α ≠ 0 , βρίσκουμε την (3):

pic278

Επειδή οι εξισώσεις (2) και (3) είναι ίδιες, οι αντίστοιχοι συντελεστές πρέπει να είναι ίσοι. Επομένως προκύπτουν οι (4):

pic279

 

Η ταυτότητα (x1 – x2 )2 = (x1 + x2 )2 – 4x1 x2 σε συνδυασμό με την (4) δίνει

pic280

Λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων (4) και (5) έχουμε:

pic281

Σχόλιο: Είναι αρκετό να θεωρήσουμε μόνο τη θετική τετραγωνική ρίζα της (5). Η αρνητική ρίζα απλώς εναλλάσσει τη διάταξη των x1 και x2.